Sgt/lecture2

สำหรับเนื้อหาในสัปดาห์นี้ เราเรียนรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของ eigen vector, eigen value ลำดับที่ 2

นิยาม Rayleigh quotient สำหรับ vector x และ symmetric matrix M เขียนแทนด้วย R(M,x) คือ

${\frac {x^{T}Mx}{x^{T}x}}$

โดยสังเกตว่าถ้า x เป็น eigen vector ของ M ค่า Rayleigh quotient จะมีค่าเป็น eigen value ที่สอดคล้องกับ x เนื่องจาก

$R(M,x)={\frac {x^{T}(Mx)}{x^{T}x}}={\frac {x^{T}(\lambda x)}{x^{T}x}}={\frac {\lambda (x^{T}x)}{x^{T}x}}=\lambda$

และเราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทว่า

"ให้ M เป็น symmetric matrix ถ้า x เป็น non-zero vector ที่ทำให้ R(M,x) มีค่ามากที่สุด แล้ว x จะเป็น eigen vector ของ M ที่สอดคล้องกับ eigen value ที่มากที่สุดของ M"