เนื้อหา

1 ข้อย่อย 1
2 ข้อย่อย 2
3 ข้อย่อย 3
4 ข้อย่อย 4

ข้อย่อย 1

เนื่องจากเหรียญที่โยนเป็นเหรียญไม่ถ่วงน้ำหนัก ฉะนั้นผลลัพธ์ของการโยนเหรียญทั้งหมด $2^{n}\,$ แบบจึีงมีความน่าจะเป็นเท่ากันคือ $1/2^{n}\,$

ถ้าจำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อยในการโยนเหรียญทั้งหมด 10 ครั้ง หมายความว่าเราโยนได้หัว 5 ครั้ง และโยนได้ก้อย 5 ครั้ง

ผลลัพธ์ที่มีเหรียญออกหัว 5 ครั้งและออกก้อย 5 ครั้งมีทั้งหมด ${10 \choose 5}\,$ ผลลัพธ์ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ได้จำนวนหัวจะเท่ากับจำนวนก้อยคือ ${\frac {1}{2^{n}}}{10 \choose 5}\,$

ข้อย่อย 2

ให้ $A\,$ เป็นเซตของผลลัพธ์การโยนเหรียญทั้งหมด

$B\,$ เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนหัวมากกว่าจำนวนก้อย

$C\,$ เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนก้อยมากกว่าจำนวนหัว

$D\,$ เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อย แล้วได้จำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อย

เนื่องจาก $A=B\cup C\cup D\,$ และ $B,C,D\,$ ไม่มีส่วนร่วมกันเป็นคู่ๆ เราได้ว่า $1=\Pr(A)=\Pr(B)+\Pr(C)+\Pr(D)$

จากข้อ 1 เราทราบว่า $\Pr(D)={\frac {1}{2^{10}}}{10 \choose 5}$

พิจารณาเซต $B\,$ และ $C\,$ เราจะแสดงว่า $|B|=|C|\,$

นิยามฟังก์ชัน $f:B\rightarrow C\,$ ดังต่อไปนี้ $f\,$ เปลี่ยนหัวเป็นก้อยและเปลี่ยนก้อยเป็นหัว (เช่น $f(HHTTHHTHTH)=TTHHTTHTHT\,$ ) เห็นได้อย่างชัดเจนว่า $f\,$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง ฉะนั้น $|B|=|C|\,$

เนื่องจากสมาชิกทุกตัวในแซมเปิลสเปซของโจทย์ข้อนี้มีความน่าจะเป็นเท่ากัน (ดูข้อ 1) เราได้ว่า $\Pr(B)=\Pr(C)$

ฉะนั้น เราได้ว่า $1=\Pr(B)+\Pr(C)+\Pr(D)=2\Pr(B)+\Pr(D)\,$ ฉะนั้น $\Pr(B)={\frac {1-\Pr(D)}{2}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2^{11}}}{10 \choose 5}$

ข้อย่อย 3

ผลลัพธ์ที่การโยนเหรียญครั้งที่ i และการโยนเหรียญครั้งที่ 11-i มีหน้าที่ออกเหมือนกัน สำหรับ 1=1,2,3,4,5 ก็คือ ครั้งที่ 1 และครั้งที่ 10 เหมือนกัน, ครั้งที่ 2 และครั้งที่ 9 เหมือนกัน, ครั้งที่ 3 และครั้งที่ 8 เหมือนกัน, ครั้งที่ 4 และครั้งที่ 7 เหมือนกัน, ครั้งที่ 5 และครั้งที่ 6 เหมือนกัน ยกตัวอย่างเช่น HTTHTTHTTH หรือ TTHHTTHHTT (พูดแบบไม่เป็นทางการคือ อ่านจากหน้าไปหลังหรือหลังไปหน้าก็เหมือนกัน)

ผลลัพธ์ลักษณะข้างบนมีอยู่ $2^{5}\,$ แบบ เนื่องจากเมื่อเรากำหนดผลลัพธ์ของการโยนเหรียญครั้งที่ 1, 2, ..., 5 แล้ว เราก็ทราบผลลัพธ์ของการโยนเหรียญที่เหลืออีก 5 ครั้งโดยปริยาย

ฉะนั้นความน่าจะเป็นที่จะโยนเหรียญได้ผลลัพธ์ทีมีเงื่อนไขตามโจทย์ คือ ${\frac {2^{5}}{2^{10}}}={\frac {1}{2^{5}}}$

ข้อย่อย 4

ให้ $P_{n}\,$ เป็นเซตของผลลัพธ์การโยนเหรียญทั้งหมด $n\,$ ครั้ง ที่ไม่มีหัวติดกันตั้งแต่ 4 ครั้งขึ้นไป

เราได้ว่า $|P_{1}|=2\,$ , $|P_{2}|=4\,$ , $|P_{3}|=8\,$ , และ $|P_{4}|=15\,$ . (สังเกตว่าถ้าเราโยนเหรียญน้อยกว่า 4 คร้้ง ผลลัพธ์ของการโยนเหรีญทั้งหมดจะไม่มีหัวติดกันตั้งแต่ 4 ครั้งขึ้นไป)

พิจารณาเซต $P_{n}\,$ ให้ $a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}\in P_{n}$ โดยที่ $a_{i}\in \{H,T\}$ (H = head = หัว, T = tail = ก้อย) เราได้ว่าเราสามารถแบ่ง $a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ ออกได้เป็นสี่กรณี คือ:

$a_{1}=T\,$ เราได้ว่า $a_{2}a_{3}\cdots a_{n}$ เป็นผลลัพธ์การโยนเหรียญจำนวน $n-1\,$ ครั้งที่ไม่มีหัวติดกินตั้งแต่ 4 ครั้งขึ้นไป ถ้าให้ $A_{1}\,$ เป็นเซตของผลลัพธ์ในกรณีนี้ เราได้ว่า $|A_{1}|=|P_{n-1}|\,$
$a_{1}=H,a_{2}=T\,$ เราได้ว่า $a_{3}a_{4}\cdots a_{n}$ เป็นผลลัพธ์การโยนเหรียญจำนวน $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 621769734 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 24 Apr 2026 12:39:14 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$ ครั้งที่ไม่มีหัวติดกินตั้งแต่ 4 ครั้งขึ้นไป ถ้าให้ $A_{2}\,$ เป็นเซตของผลลัพธ์ในกรณีนี้ เราได้ว่า $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 693310218 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 24 Apr 2026 12:39:15 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$
$a_{1}=H,a_{2}=H,a_{3}=T\,$ เราได้ว่า $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 650177578 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 24 Apr 2026 12:39:15 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$ เป็นผลลัพธ์การโยนเหรียญจำนวน $n-3\,$ ครั้งที่ไม่มีหัวติดกินตั้งแต่ 4 ครั้งขึ้นไป ถ้าให้ $A_{3}\,$ เป็นเซตของผลลัพธ์ในกรณีนี้ เราได้ว่า $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 625768781 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 24 Apr 2026 12:39:17 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$
$a_{1}=H,a_{2}=H,a_{3}=H,a_{4}=T\,$ เราได้ว่า $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 670839105 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 24 Apr 2026 12:39:17 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$ เป็นผลลัพธ์การโยนเหรียญจำนวน $n-4\,$ ครั้งที่ไม่มีหัวติดกินตั้งแต่ 4 ครั้งขึ้นไป ถ้าให้ $A_{4}\,$ เป็นเซตของผลลัพธ์ในกรณีนี้ เราได้ว่า $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 670283752 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 24 Apr 2026 12:39:19 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$

เนื่องจาก $P_{n}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}$ และ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\,

ไม่มีส่วนร่วมกันเป็นคู่ๆ เราได้ว่า

|P_{n}|=|A_{1}|+|A_{2}|+|A_{3}|+|A_{4}|=|P_{n-1}|+|P_{n-2}|+|P_{n-3}|+|P_{n-4}|\,

ฉะนั้นเราจะได้ว่า $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

|P_{5}|=29,|P_{6}|=56,|P_{7}|=108,|P_{8}|=208,|P_{9}|=401,|P_{10}|=773\,

ฉะนั้นความน่าจะเป็นที่เราจะโยนเหรียญได้หัวติดกันอย่างน้อย 4 ครั้งจึงมีค่าเท่ากับ ${\frac {2^{10}-773}{2^{10}}}={\frac {251}{1024}}\,$

418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น I/เฉลยข้อ 1

เนื้อหา

ข้อย่อย 1

ข้อย่อย 2

ข้อย่อย 3

ข้อย่อย 4

Error

Error

รายการเลือกการนำทาง

เครื่องมือส่วนตัว

เนมสเปซ

สิ่งที่แตกต่าง

ดู

เพิ่มเติม

ค้นหา

การนำทาง

เครื่องมือ