418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 2

ข้อย่อย 1

จาก $E[X|X_{1}$ is even]$=E[X_{1}|X_{1}$ is even]$+E[X_{2}|X_{1}$is even]จาก linearity of expectations

$Pr(X_{1}$ is even)$=Pr(X_{1}=2)+Pr(X_{1}=4)+Pr(X_{1}=6)={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}$

จากโจทย์ $X_{1},X_{2}$ เป็นอิสระจากกัน

หาค่า

$E[X_{1}|X_{1}$ is even] $=2\times {\frac {1}{3}}+4\times {\frac {1}{3}}+6\times {\frac {1}{3}}=4$

$E[X_{2}|X_{1}$ is even] $=3.5$

ดังนั้น $E[X|X_{1}$ is even] $=E[X_{1}|X_{1}$ is even] $+E[X_{2}|X_{1}$ is even]=4+3.5=7.5