ผลต่างระหว่างรุ่นของ "418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II"

รุ่นแก้ไขปัจจุบันเมื่อ 08:13, 4 สิงหาคม 2552

เนื้อหา

1 ข้อ 1
2 ข้อ 2
3 ข้อ 3
4 ข้อ 4
5 ข้อ 5
6 ข้อ 6
7 ข้ัอ 7
8 ข้่อ 8

ข้อ 1

[Mitzenmacher & Upfal 2.2] ลิงตัวหนึ่งพิมพ์แป้นพิมพ์ดีดที่มีแป้นพิมพ์อยู่ 26 ตัวซึ่งตรงกับตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวเล็กทั้ง 26 ตัว โดยที่ตัวอักษรที่ลิงพิมพ์แต่ละตัวถูกเลือกขึ้นมาอย่างๆ สุ่มๆ โดยที่ตัวอักษรแต่ละตัวมีโอกาสได้รับเลือกเท่าๆ กัน และการพิมพ์แต่ละครั้งเป็นอิสระจากการพิมพ์ครั้งอื่นๆ ถ้าลิืงพิมพ์ตัวอักษรไปทั้งหมด 1,000,000 ตัวอักษร จงหาจำนวนที่คำว่า "proof" จะปรากฎอยู่ในข้อความที่ลิงพิมพ์ออกมานี้

เฉลย

ข้อ 2

[Mitzenmacher & Upfal 2.6] โยนลูกเต๋าไม่ถ่วงน้ำหนักหนึ่งลูกสองครั้ง แต่ละครั้งเป็นอิสระจากกัน ให้ $X_{1}\,$ เป็นแต้มของการโยนครั้งแรก $X_{2}\,$ เป็นแต้มของการโยนครั้งที่สอง และให้ $X\,$ เป็นผลบวกของแต้มทั้งสอง จงหาค่า

$E[X\ |\ X_{1}{\mbox{ is even}}]\,$
$E[X\ |\ X_{1}=X_{2}]\,$
$E[X_{1}\ |\ X=9]\,$
$E[X_{1}-X_{2}\ |\ X=k]\,$ เมื่อ k อยู่ในช่วง [2, 12]

เฉลย

ข้อ 3

[Mitzenmacher & Upfal 2.7] ให้ X และ Y เป็น geometric random variable ที่เป็นอิสระจากกัน โดยที่ X มี parameter p และ Y มี parameter q

จงหาความน่าจะเป็นที่ X = Y
จงหา $E[\max(X,Y)]\,$
จงหา $\Pr(\min(X,Y)=k)\,$
จงหา $E[X\ |\ X\leq Y]\,$

เฉลย

ข้อ 4

[Mitzenmacher & Upfal 2.12] เราทำการดึงไพ่อย่างสุ่มๆ ออกจากกองไพ่ที่มีไพ่อยู่ n ใบ โดยเมื่อดึงออกมาแล้วใส่กลับเข้าไปในกองใหม่

เราจะต้ัองดึงไพ่ออกมาประมาณกี่ครั้งจนกว่าจะเราเคยเห็นไพ่ครบทั้ง n ใบ
ถ้าเราทำการดึงไพ่ออกมา 2n ครั้ง จงหาจำนวนไพ่ที่ไม่เคยถูกดึงออกมาจากกองเลยโดยเฉลี่ย
ถ้าเราทำการดึงไพ่ออกมา 2n ครั้ง จงหาจำนวนไพ่ที่ถูกดึงออกมาจากกองเพียงครั้งเดียวเท่านั้น

เฉลย

ข้อ 5

[Mitzenmacher & Upfal 2.14] โยนเหรียญถ่วงน้ำหนักที่ขึ้นหัวด้วยความน่าจะเป็น p ไปเรื่อยๆ ให้ X เป็นจำนวนการโยนเหรียนจนกระทั่งหัวครั้งที่ k ออกมา จงแสดงว่า $\Pr(X=n)={n-1 \choose k-1}p^{k}(1-p)^{n-k}\,$

เฉลย

ข้อ 6

[Mitzenmacher & Upfal 2.18] พิจารณากระบวนการสุ่มต่อไปนี้: มีไพ่อยู่ n ใบ ซึ่งมีหมายเลข 1 ถึง n ติดอยู่ ขั้นแรกผมหยิบไพ่หมายเลข 1 ส่งให้คุณ แล้วคุณเก็บไว้ หลังจากนั้นผมส่งไพ่หมายเลข 2 ให้คุณ โดยคุณทำการตัดสินใจเก็บไพ่หมายเลข 2 แทนไพ่ที่คุณเก็บไว้ในปัจจุบันด้วยความน่าจะเป็น 1/2 หลังจากนั้นผมจึงส่งไพ่หมายเลข 3, 4, 5, ... ให้ตามลำดับจนกระทั่งครบทั้ง n ใบ โดยเมื่อผมส่งไพ่หมายเลข k ให้คุณ คุณจะเลือกเก็บไพ่หมายเลข k แทนไพ่ที่เก็บไว้ในปัจจุบันด้วยความน่าจะเป็น 1/k

จงแสดงไพ่ท้ายสุดเลย ไพ่ทุกใบมีโอกาสที่จะเป็นไพ่ที่คุณเก็บไว้ใบสุดท้ายเท่าๆ กัน

เฉลย

ข้ัอ 7

ให้ $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}$ เป็น permutation สุ่มของเซต $\{1,2,3,\ldots ,n\}$ โดยมันมีโอกาสจะเป็น permutation ใดๆ ใน permutation n! ตัวที่เป็นไปได้เท่าๆ กัน

เมื่อเราทำการเรียงลำดับ $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}$ เลข $a_{i}$ จะต้องถูกเลื่อนเป็นระยะทาง $|a_{i}-i|$ ไปยังตำแหน่งที่มันอยู่ตอนต้น ไปยังตำแหน่งที่เหมาะสมในลำดับที่เรียงแล้ว

จงหา $E{\bigg [}\sum _{i=1}^{n}|a_{i}-i|{\bigg ]}$ ซึ่งมีค่าเท่ากับระยะทางที่เลขทุกตัวจะถูกเลื่อนโดยเฉลี่ย

เฉลย

ข้่อ 8

คุณเล่นเกมพนันต่อไปนี้ คุณเริ่มต้นด้วยเงินต้น S หน่วย หลังจากนั้นจะมีการโยนเหรียญที่ไม่ถ่วงน้ำหนัก n ครั้ง สำหรับการโยนเหรียนแต่ละครั้ง

ถ้าเหรียญออกหัว เจ้ามือจะจ่ายเงินให้คุณเพื่อทำให้คุณมีเงินสองเท่าของเงินที่คุณมีอยู่ตอนนั้น
ถ้าเหรียญออกก้อย คุณจะต้องจ่ายเงินให้เจ้ามือเพื่อทำให้คุณมีเงินเหลือเพียง 1/4 ของเงินที่คุณมีในตอนนั้น

ยกตัวอย่างเช่น สมมติให้ S = 100 บาท ถ้าการโยนเหรียญครั้งแรกออกหัว เจ้ามีจะจ่ายเงินให้คุณ 100 บาท ทำให้คุณมีเงิน 200 บาท และถ้าการโยนเหรียญครั้งที่สองออกก้อย คุณต้องจ่ายเงินให้เจ้ามือ 150 บาท เหลือ 50 บาท (= 200/4)

ให้ $X_{n}$ เป็นจำนวนเงินที่คุณมีหลังจากโยนเหรียญ n ครั้ง จงหาค่า $E[X_{n}]$
ให้ $Y_{n}$ เป็นจำนวนหัวที่ออกในการโยนเหรียญ n ครั้ง $Y_{n}$ จะต้องมีค่าน้อยที่สุดเท่าไหร่คุณถึงจะไม่ขาดทุน?
จงหา $E[Y_{n}]$ และ $\mathrm {Var} [Y_{n}]$
จงใ้ช้อสมการของมาร์คอฟและอสมกาารของเชบิเชฟหาขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่คุณจะไม่ขาดทุน

เฉลย

@@ แถว 1: / แถว 1: @@
 == ข้อ 1 ==
-[Mitzenmacher & Upfal 2.2] ลิงตัวหนึ่งพิมพ์แป้นพิมพ์ดีดที่มีแป้นพิมพ์อยู่ 26 ตัวซึ่งตรงกับตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวเลขทั้ง 26 ตัว โดยที่ตัวอักษรที่ลิงพิมพ์แต่ละตัวถูกเลือกขึ้นมาอย่างๆ สุ่มๆ โดยที่ตัวอักษรแต่ละตัวมีโอกาสได้รับเลือกเท่าๆ กัน และการพิมพ์แต่ละครั้งเป็นอิสระจากการพิมพ์ครั้งอื่นๆ ถ้าลิืงพิมพ์ตัวอักษรไปทั้งหมด 1,000,000 ตังอักษร จงหาจำนวนที่คำว่า "proof" จะปรากฎอยู่ในข้อความที่ลิงพิมพ์ออกมานี้
+[Mitzenmacher & Upfal 2.2] ลิงตัวหนึ่งพิมพ์แป้นพิมพ์ดีดที่มีแป้นพิมพ์อยู่ 26 ตัวซึ่งตรงกับตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวเล็กทั้ง 26 ตัว โดยที่ตัวอักษรที่ลิงพิมพ์แต่ละตัวถูกเลือกขึ้นมาอย่างๆ สุ่มๆ โดยที่ตัวอักษรแต่ละตัวมีโอกาสได้รับเลือกเท่าๆ กัน และการพิมพ์แต่ละครั้งเป็นอิสระจากการพิมพ์ครั้งอื่นๆ ถ้าลิืงพิมพ์ตัวอักษรไปทั้งหมด 1,000,000 ตัวอักษร จงหาจำนวนที่คำว่า "proof" จะปรากฎอยู่ในข้อความที่ลิงพิมพ์ออกมานี้
+[[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 1|เฉลย]]
 == ข้อ 2 ==
@@ แถว 8: / แถว 10: @@
 # <math>E[X_1\ |\ X = 9] \,</math>
 # <math>E[X_1 - X_2 \ |\ X = k] \,</math> เมื่อ k อยู่ในช่วง [2, 12]
+[[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 2|เฉลย]]
 == ข้อ 3 ==
@@ แถว 15: / แถว 19: @@
 # จงหา <math>\Pr(\min(X,Y) = k)\,</math>
 # จงหา <math>E[X\ |\ X \leq Y]\,</math>
+[[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 3|เฉลย]]
 == ข้อ 4 ==
@@ แถว 21: / แถว 27: @@
 # ถ้าเราทำการดึงไพ่ออกมา 2n ครั้ง จงหาจำนวนไพ่ที่ไม่เคยถูกดึงออกมาจากกองเลยโดยเฉลี่ย
 # ถ้าเราทำการดึงไพ่ออกมา 2n ครั้ง จงหาจำนวนไพ่ที่ถูกดึงออกมาจากกองเพียงครั้งเดียวเท่านั้น
+[[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 4|เฉลย]]
 == ข้อ 5 ==
 [Mitzenmacher & Upfal 2.14] โยนเหรียญถ่วงน้ำหนักที่ขึ้นหัวด้วยความน่าจะเป็น p ไปเรื่อยๆ ให้ X เป็นจำนวนการโยนเหรียนจนกระทั่งหัวครั้งที่ k ออกมา จงแสดงว่า <math>\Pr(X = n) = {n-1 \choose k-1} p^k (1-p)^{n-k} \,</math>
+[[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 5|เฉลย]]
+== ข้อ 6 ==
+[Mitzenmacher & Upfal 2.18] พิจารณากระบวนการสุ่มต่อไปนี้: มีไพ่อยู่ n ใบ ซึ่งมีหมายเลข 1 ถึง n ติดอยู่ ขั้นแรกผมหยิบไพ่หมายเลข 1 ส่งให้คุณ แล้วคุณเก็บไว้ หลังจากนั้นผมส่งไพ่หมายเลข 2 ให้คุณ โดยคุณทำการตัดสินใจเก็บไพ่หมายเลข 2 แทนไพ่ที่คุณเก็บไว้ในปัจจุบันด้วยความน่าจะเป็น 1/2 หลังจากนั้นผมจึงส่งไพ่หมายเลข 3, 4, 5, ... ให้ตามลำดับจนกระทั่งครบทั้ง n ใบ โดยเมื่อผมส่งไพ่หมายเลข k ให้คุณ คุณจะเลือกเก็บไพ่หมายเลข k แทนไพ่ที่เก็บไว้ในปัจจุบันด้วยความน่าจะเป็น 1/k
+จงแสดงไพ่ท้ายสุดเลย ไพ่ทุกใบมีโอกาสที่จะเป็นไพ่ที่คุณเก็บไว้ใบสุดท้ายเท่าๆ กัน
+[[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 6|เฉลย]]
+== ข้ัอ 7 ==
+ให้ <math>a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n</math> เป็น permutation สุ่มของเซต <math>\{1, 2, 3, \ldots, n \}</math> โดยมันมีโอกาสจะเป็น permutation ใดๆ ใน permutation n! ตัวที่เป็นไปได้เท่าๆ กัน
+เมื่อเราทำการเรียงลำดับ <math>a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n</math> เลข <math>a_i</math> จะต้องถูกเลื่อนเป็นระยะทาง <math>|a_i - i|</math> ไปยังตำแหน่งที่มันอยู่ตอนต้น ไปยังตำแหน่งที่เหมาะสมในลำดับที่เรียงแล้ว
+จงหา <math>E \bigg[ \sum_{i=1}^n |a_i - i| \bigg] </math> ซึ่งมีค่าเท่ากับระยะทางที่เลขทุกตัวจะถูกเลื่อนโดยเฉลี่ย
+[[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 7|เฉลย]]
+== ข้่อ 8 ==
+คุณเล่นเกมพนันต่อไปนี้ คุณเริ่มต้นด้วยเงินต้น S หน่วย หลังจากนั้นจะมีการโยนเหรียญที่ไม่ถ่วงน้ำหนัก n ครั้ง สำหรับการโยนเหรียนแต่ละครั้ง
+* ถ้าเหรียญออกหัว เจ้ามือจะจ่ายเงินให้คุณเพื่อทำให้คุณมีเงินสองเท่าของเงินที่คุณมีอยู่ตอนนั้น
+* ถ้าเหรียญออกก้อย คุณจะต้องจ่ายเงินให้เจ้ามือเพื่อทำให้คุณมีเงินเหลือเพียง 1/4 ของเงินที่คุณมีในตอนนั้น
+ยกตัวอย่างเช่น สมมติให้ S = 100 บาท ถ้าการโยนเหรียญครั้งแรกออกหัว เจ้ามีจะจ่ายเงินให้คุณ 100 บาท ทำให้คุณมีเงิน 200 บาท และถ้าการโยนเหรียญครั้งที่สองออกก้อย คุณต้องจ่ายเงินให้เจ้ามือ 150 บาท เหลือ 50 บาท (= 200/4)
+# ให้ <math>X_n</math> เป็นจำนวนเงินที่คุณมีหลังจากโยนเหรียญ n ครั้ง จงหาค่า <math>E[X_n]</math>
+# ให้ <math>Y_n</math> เป็นจำนวนหัวที่ออกในการโยนเหรียญ n ครั้ง <math>Y_n</math> จะต้องมีค่าน้อยที่สุดเท่าไหร่คุณถึงจะไม่ขาดทุน?
+# จงหา <math>E[Y_n]</math> และ <math>\mathrm{Var}[Y_n]</math>
+# จงใ้ช้อสมการของมาร์คอฟและอสมกาารของเชบิเชฟหาขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่คุณจะไม่ขาดทุน
+[[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 8|เฉลย]]

ผลต่างระหว่างรุ่นของ "418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II"

รุ่นแก้ไขปัจจุบันเมื่อ 08:13, 4 สิงหาคม 2552

เนื้อหา

ข้อ 1

ข้อ 2

ข้อ 3

ข้อ 4

ข้อ 5

ข้อ 6

ข้ัอ 7

ข้่อ 8

รายการเลือกการนำทาง

เครื่องมือส่วนตัว

เนมสเปซ

สิ่งที่แตกต่าง

ดู

เพิ่มเติม

ค้นหา

การนำทาง

เครื่องมือ